Present Value - Barwert

1. Grundlagen

Der Present Value (PV) oder Barwert beschreibt den heutigen Wert zukünftig erwarteter Cashflows. Er bildet die mathematische Grundlage der Discounted Cash Flow Analyse (DCF) und des Dividend Discount Models (DDM), welche den intrinsischen Wert anhand zukünftiger Cashflows bestimmen.

Grundlage ist der Zeitwert des Geldes: Intuitiv gilt: 100€, die man heute erhält, sind mehr wert als 100€, die man erst in einigen Jahren bekommt. Ein wesentlicher Grund dafür liegt, neben Inflation und Konsumaufschub, in den mit dem späteren Zahlungseingang verbundenen Opportunitätskosten. Direkt verfügbares Kapital kann bereits heute investiert werden und (bei positiver Verzinsung) eine Rendite erzielen. Die beim Warten entgangene Rendite stellt die Opportunitätskosten dar. Zukünftige Cashflows werden deshalb mit der Renditeanforderung einer vergleichbaren Anlage bei vergleichbarem Risiko, der Discount Rate, auf ihren heutigen Wert abgezinst.

2. Berechnung

Der Present Value eines einzelnen Cashflows berechnet sich bei konstanter Discount Rate als: $$\mathrm{PresentValue}_n = \frac{\mathrm{CashFlow}_n}{(1+R)^n}$$ wobei

$\mathrm{CashFlow}_n:$ Erwarteter Cashflow am Ende der $n$-ten Periode
$R:$ Diskontierungssatz (Discount Rate) pro Periode, z.B. $0{,}10$ für 10%
$n:$ Anzahl der Perioden zwischen Bewertungsstichtag und Cashflow

Der Ausdruck $$\mathrm{DiscountFactor}_n = \frac{1}{(1+R)^n}$$ wird als Diskontfaktor bezeichnet. Er wird mit dem Cashflow multipliziert. Bei 10% und einem Jahr beträgt er rund 0,9091: Ein Cashflow von 100€ in einem Jahr hat damit einen Present Value von rund 90,91€. Abzinsen ist die Umkehrung des Aufzinsens.

Allgemein ergibt sich der gesamte Present Value als Summe der einzelnen Barwerte: $$\mathrm{PresentValue} = \sum_{n=1}^N \frac{\mathrm{CashFlow}_n}{(1+R)^n}$$ Dabei bezeichnet $N$ die letzte betrachtete Periode. Das Summenzeichen $\sum$ steht für die Addition der Barwerte von Periode 1 bis $N$.

3. Beispiele

3.1. Konstante Cashflows

Betrachten wir ein hypothetisches Investment, das über fünf Jahre jeweils am Jahresende einen Cashflow von 1.000€ generiert. Die Discount Rate beträgt 10% pro Jahr. Danach gibt es keine weiteren Cashflows und keinen Restwert.

Kennzahl	1. Jahr	2. Jahr	3. Jahr	4. Jahr	5. Jahr	Summe
Cashflow [€]	1.000,00	1.000,00	1.000,00	1.000,00	1.000,00	5.000,00
Discount Rate [%]	10,0	10,0	10,0	10,0	10,0	–
Discount Factor	0,9091	0,8264	0,7513	0,6830	0,6209	–
Present Value [€]	909,09	826,45	751,31	683,01	620,92	3.790,79

Alle Berechnungen erfolgen ohne Zwischenrundung; die dargestellten Werte sind gerundet. Summen werden aus den ungerundeten Werten gebildet. $$\mathrm{PresentValue} = \sum_{n=1}^5 \frac{1.000}{1{,}10^n} \approx 3.790{,}79\,\text{€}$$ Die Cashflows von insgesamt 5.000€ haben bei einer Discount Rate von 10% einen heutigen Wert von rund 3.790,79€. Zahlt ein Investor den ungerundeten Barwert und treten die erwarteten Cashflows ein, erzielt er eine jährliche interne Rendite von 10%.

3.2. Wachsende Cashflows

Ein hypothetisches Investment generiert am Ende des ersten Jahres einen Cashflow von 1.000€. Dieser wächst in den folgenden vier Jahren um jeweils 10%. Die Discount Rate beträgt ebenfalls 10% pro Jahr. Danach gibt es keine weiteren Cashflows und keinen Restwert. Tabelle und Grafik zeigen für jedes Jahr den erwarteten Cashflow und seinen Present Value:

Kennzahl	1. Jahr	2. Jahr	3. Jahr	4. Jahr	5. Jahr	Summe
Cashflow [€]	1.000,00	1.100,00	1.210,00	1.331,00	1.464,10	6.105,10
Discount Rate [%]	10,0	10,0	10,0	10,0	10,0	–
Discount Factor	0,9091	0,8264	0,7513	0,6830	0,6209	–
Present Value [€]	909,09	909,09	909,09	909,09	909,09	4.545,45

Alle Berechnungen erfolgen ohne Zwischenrundung; die dargestellten Werte sind gerundet. Summen werden aus den ungerundeten Werten gebildet. Die Cashflows steigen von 1.000€ im ersten Jahr auf 1.464,10€ im fünften Jahr. Da Cashflow-Wachstum und Discount Rate gleich hoch sind, bleibt der Present Value jedes einzelnen Cashflows bei rund 909,09€: $$\mathrm{PresentValue}_n = \frac{1.000 \times 1{,}10^{n-1}}{1{,}10^n} = \frac{1.000}{1{,}10} \approx 909{,}09\,\text{€}$$ Der erste Cashflow wird bereits um ein Jahr abgezinst. Für den gesamten Present Value addieren wir die Barwerte aller fünf Cashflows: $$\mathrm{PresentValue} = 5 \times \frac{1.000}{1{,}10} \approx 4.545{,}45\,\text{€}$$

4. Praktische Anwendung

Die Wahl der Discount Rate muss zu den betrachteten Cashflows und deren Risiko passen. In der Unternehmensbewertung unterscheiden wir:

Cashflow	Discount Rate	Ermittelter Wert
Free Cash Flow to the Firm (FCFF)	Weighted Average Cost of Capital (WACC)	Unternehmenswert (Enterprise Value)
Free Cash Flow to Equity (FCFE)	Eigenkapitalkosten (Cost of Equity)	Eigenkapitalwert (Equity Value)
Dividenden und Netto-Aktienrückkäufe	Eigenkapitalkosten (Cost of Equity)	Eigenkapitalwert (Equity Value)

5. Wechselnde Discount Rates

Discount Rates müssen nicht über den gesamten Betrachtungszeitraum konstant sein. Bei periodenspezifischen Sätzen $R_t$ multiplizieren wir die Aufzinsungsfaktoren $(1+R_1) \times (1+R_2) \times \ldots \times (1+R_n)$: $$\mathrm{PresentValue}_n = \frac{\mathrm{CashFlow}_n}{\prod_{t=1}^n(1+R_t)}$$ Dabei ist $R_t$ die Discount Rate für die einzelne Periode $t$. Das Produktzeichen $\prod$ steht für die Multiplikation der Faktoren.

Bei 8% im ersten und 10% im zweiten Jahr beträgt der Present Value eines Cashflows von 100€ am Ende des zweiten Jahres: $$\mathrm{PresentValue}_2 = \frac{100}{1{,}08 \times 1{,}10} \approx 84{,}18\,\text{€}$$ Für mehrere Cashflows werden die einzelnen Barwerte wieder addiert: $$\mathrm{PresentValue} = \sum_{n=1}^N \frac{\mathrm{CashFlow}_n}{\prod_{t=1}^n(1+R_t)}$$ Sind alle Discount Rates gleich, entspricht das Produkt dem Ausdruck $(1+R)^n$.